Abstract: In condensed matter physics, the Dirac equations govern the behavior of new materials with remarkable properties. This is the case for the graphene (periodic honeycomb material) or for topological insulators (insulating material in the bulk but conductive on the edge). An important objective of these models is to reveal “edge states” which propagate either along the edge of the domain or at an interface created by a variable mass or an electric/magnetic potential. Such phenomena comparable to the quantum Hall effect have been intensively studied for magnetic Schrödinger operators but more recently considered for Dirac operators. The latter present specific difficulties and different behaviors: matrix operator, non-semibounded spectrum, delicate boundary conditions… Our team, made up of recognized specialists in analysis of PDE and spectral analysis of operators in the broad sense (spectral asymptotics, scattering theory, resonance theory, semiclassical analysis, microlocal analysis etc.), aims to contribute to the mathematical description of the new phenomena associated with some of these Dirac type systems and to explore the mathematical questions raised. We can distinguish three themes corresponding to the three important steps of the planned studies:
•Task 1:Band functions of fibered operators: Periodic operators with conical band functions and operators invariant in one direction (Dirac “waveguide”). Description of their band functions (or dispersion curves) as well as the associated eigenvectors.
•Task 2:Edge states: For some reference operators without perturbation, study of edge states and their localizations. Develop a more general interpretation of edge states in terms of coherent states propagation and Wigner measures for bent interfaces.
•Task 3:Influence and interaction of perturbations/impurities: effect of perturbations (electromagnetic potential, obstacle) on the ideal operators, study of the eigenvalues, resonances, scattering matrix and spectral shift function. In addition, study of the stability of edge currents
Résumé En physique de la matière condensée, les équations de Dirac régissent le comportement de nouveaux matériaux aux propriétés remarquables. C’est le cas du graphène (matériau en nid d’abeille périodique) ou des isolants topologiques (matériau isolant dans la masse mais conducteur sur le bord). Un objectif important de ces modèles est de révéler des « états de bord » qui se propagent soit le long du bord du domaine, soit à une interface créée par une masse variable ou un potentiel électrique/magnétique. De tels phénomènes comparables à l’effet Hall quantique ont été intensivement étudiés pour les opérateurs magnétiques de Schrödinger mais plus récemment considérés pour les opérateurs de Dirac. Ces derniers présentent des difficultés spécifiques et des comportements différents : opérateur matriciel, spectre non semi-bornés, conditions aux limites délicates… Notre équipe, composée de spécialistes reconnus en analyse des EDP et analyse spectrale d’opérateurs au sens large (asymptotique spectrale, théorie de la diffusion, théorie des résonances, analyse semi-classique, analyse microlocale etc.), vise à contribuer à la description mathématique des nouveaux phénomènes associés à certains de ces systèmes de type Dirac et à explorer les questions mathématiques soulevées. On peut distinguer trois thématiques correspondant aux trois étapes importantes des études prévues :
•Tâche 1 : Fonctions de bande des opérateurs fibrés : Opérateurs périodiques à fonctions de bande conique et opérateurs invariants dans une direction (“guide d’onde” de Dirac). Description de leurs fonctions de bande (ou courbes de dispersion) ainsi que des vecteurs propres associés.
•Tâche 2 : États de bord : Pour certains opérateurs de référence sans perturbation, étude des états de bord et de leurs localisations. Développer une interprétation plus générale des états de bord en termes de propagation d’états cohérents et de mesures de Wigner pour les interfaces courbées.
•Tâche 3 : Influence et interaction de perturbations/impuretés : effet des perturbations (potentiel électromagnétique, obstacle) sur les opérateurs idéaux, étude des valeurs propres, résonances, matrice de diffusion et fonction de décalage spectral. De plus, étude de la stabilité des courants de bord.
